Калькулятор наклона — градиент между двумя точками

О калькуляторе наклона (slope)

Калькулятор наклона определяет slope (наклон/градиент) прямой между двумя точками в декартовой системе координат. Slope показывает “крутизну” линии и может быть положительным, отрицательным, нулевым или неопределённым.

Как пользоваться калькулятором

Чтобы найти наклон прямой, достаточно любых двух точек на ней:

1. Введите координаты \(x\) и \(y\) первой точки
2. Введите координаты \(x\) и \(y\) второй точки
3. Нажмите Calculate — и получите результат

Калькулятор мгновенно покажет slope и дополнительные параметры:

• уравнение прямой
• точку пересечения с осью \(y\) (y-intercept)
• угол наклона к оси \(x\) (против часовой стрелки)
• наклон в процентах (percentage grade)
• расстояние между точками

Пример:

Пусть прямая проходит через точки (1, 5) и (7, 6). Введите их — и получите:

• slope = 0.166667
• уравнение: y = 0.16667x + 4.83333
• угол ≈ 9.46°
• наклон ≈ 16.67%

Формула наклона

Формула slope:

Заметьте: при небольших целых координатах наклон легко посчитать вручную, но формула особенно полезна при больших или дробных значениях.

Если прямая задана как y = mx + c, то:

• m — наклон (slope)
• c — пересечение с осью \(y\)

Особые случаи:

• Горизонтальная прямая: slope = 0, потому что \(y\) не меняется.
• Вертикальная прямая: slope неопределён, потому что \(x\) постоянен (деление на ноль).

Как найти slope: пошагово

Посчитаем наклон прямой через точки (3, 8) и (-2, 10):

1. Координаты: (x₁, y₁) = (3, 8) и (x₂, y₂) = (-2, 10)
2. Подставляем: (10 - 8) / (-2 - 3)
3. Считаем: 2 / (-5)
4. Упрощаем: -2/5 или -0.4
5. Проверяем: через калькулятор

По сути мы делим изменение по \(y\) (rise) на изменение по \(x\) (run). Это обычные вычитание и деление.

Типы наклона

Тип	Значение	Направление линии
Положительный	m > 0	Поднимается слева снизу вправо вверх
Отрицательный	m < 0	Опускается слева сверху вправо вниз
Нулевой	m = 0	Горизонтальная линия
Неопределённый	Division by zero	Вертикальная линия

Применение в физике

Intuitively, the slope of a function captures its rate of change. One of the simplest real-life examples is velocity: the measure of how position changes in time.

Constant Velocity Example:

Suppose a cyclist travels along a straight line, and their position at time t is given by x(t) = 5t + 3. Their velocity is v = 5, which is precisely the slope in the formula. This means in a time increment Δt, the cyclist covers an extra distance of 5(Δt).

Constant Acceleration Example:

If the cyclist starts at x = 0 with acceleration a = 10, their velocity becomes v(t) = 10t and position becomes x(t) = 5t². In this case:

• Velocity is the derivative (rate of change) of position
• Acceleration is the derivative of velocity
• The slope is no longer constant but varies with time

Практические применения

Наклон холма:

1. Use a map to determine the distance between top and bottom (horizontal distance)
2. Find the altitude difference using GPS or map
3. Convert both measurements to same units
4. Divide altitude difference by horizontal distance
5. This gives you the average gradient of the hill

Длина наклонного участка:

1. Measure the change in x and y directions
2. Square both changes
3. Add the squared values
4. Find the square root
5. This gives you the length (our calculator does this automatically as "Distance")

Common Slope Conversions

Ratio	Decimal	Percentage	Angle
1/20	0.05	5%	2.86°
1/10	0.10	10%	5.71°
1/5	0.20	20%	11.31°
1/4	0.25	25%	14.04°
1/2	0.50	50%	26.57°
1/1	1.00	100%	45.00°

Частые вопросы

Как найти наклон из уравнения?

Если уравнение имеет вид y = mx + c, то наклон — это m. Если вид другой, попробуйте преобразовать. Для более сложных функций потребуется производная по \(x\).

Rate of change — это то же самое, что slope?

Да. Скорость изменения графика — это его наклон (gradient). Её находят как \(\Delta y / \Delta x\). Это полезно для прогнозов и анализа трендов.

Где slope встречается в жизни?

Наклон нужен во многих ситуациях:

• Hills and roads: Every hill has a slope, and the steeper the hill, the greater its gradient
• Roofs: The slope of a roof changes depending on style and location
• Ramps: Wheelchair ramps must meet specific slope requirements
• Graphs: Understanding how things change over time (stock prices, temperature, etc.)
• Navigation: Finding the best route based on elevation changes

Что такое наклон 10%?

A 10% slope is one that rises by 1 unit for every 10 units traveled horizontally. For example, a roof with a 10% slope that is 20 m across will be 2 m high. This is the same as a gradient of 1/10, and forms an angle of 5.71° with the x-axis.

Какой угол у наклона 1 к 5?

A 1 to 5 slope (which rises 1 unit for every 5 units horizontally) forms an angle of 11.3 degrees with the x-axis. This can be found by:

1. Calculating the slope: 1/5 = 0.2
2. Finding the inverse tangent: arctan(0.2) = 11.3°

Как найти площадь под линией?

For a line given by y = mx + c between x-coordinates x1 and x2:

1. Find Δx = x2 - x1
2. Calculate corresponding Δy = m × Δx
3. Area of triangle = (Δx × Δy) / 2
4. If there's a y-intercept, add the rectangular area: Δx × c