Black Scholes Calculator — модель оценки опционов
Quick Guide: введите текущую цену акции, strike price, время до экспирации, risk-free rate, volatility и dividend yield — и получите оценку “справедливой” цены call и put по модели Black‑Scholes‑Merton.
Что такое Black Scholes?
Black Scholes (Black‑Scholes‑Merton, BSM) — математическая модель для оценки стоимости европейских опционов на акции. Её предложили в 1973 году Fisher Black и Myron Scholes (позже важный вклад внёс Robert Merton). Модель стала прорывом, потому что дала рациональный математический способ оценивать цены опционов.
Модель Black‑Scholes помогает трейдерам и инвесторам:
- оценивать fair market price опционов
- находить арбитражные возможности
- принимать решения на основе расчётов
- понимать, какие факторы и как влияют на цену опциона
- эффективнее хеджировать позиции
Что такое опционы
Что такое stock option?
Опцион — финансовый контракт, который даёт владельцу право (но не обязанность) купить или продать актив по заранее определённой цене (strike price) до определённой даты или в эту дату (expiration date). Есть два основных типа:
Call Option
Даёт право купить базовый актив по strike price. Call обычно покупают, когда ожидают рост цены.
Example: купить call со strike $350 при цене акции $400 и исполнить, если цена выше $350.
Put Option
Даёт право продать базовый актив по strike price. Put часто покупают как защиту от падения цены.
Example: купить put со strike $350 при цене акции $400 и исполнить, если цена упадёт ниже $350.
European vs American options
Модель Black‑Scholes изначально рассчитана на European options, которые можно исполнить только в день экспирации. American options можно исполнять в любой момент до expiration — это добавляет сложность, которую базовая формула Black‑Scholes не учитывает.
Формула Black Scholes
Уравнения Black‑Scholes дают теоретическую цену call и put. Полный вывод опирается на дифференциальные уравнения, но итоговые формулы обычно записывают так:
Call Option Price:
C = S₀ × e-qt × N(d₁) - X × e-rt × N(d₂)
Put Option Price:
P = X × e-rt × N(-d₂) - S₀ × e-qt × N(-d₁)
Where:
d₁ = [ln(S₀/X) + (r - q + v²/2)t] / (v√t)
d₂ = d₁ - v√t
Обозначения:
| Variable | Описание |
|---|---|
| C / P | Цена call / цена put |
| S₀ | Текущая цена акции (spot price) |
| X | Strike price (exercise price) |
| t | Время до экспирации (в годах) |
| r | Risk-free interest rate (годовая) |
| q | Dividend yield (годовая) |
| v (σ) | Volatility (стандартное отклонение доходностей) |
| N(d) | Функция распределения стандартного нормального распределения |
Ключевые входные параметры
Текущая рыночная цена базовой акции (spot price) — цена, по которой акция торгуется прямо сейчас.
Example: если Tesla (TSLA) стоит $400 за акцию, то S₀ = $400.
Цена, по которой опцион можно исполнить. Для call — цена покупки, для put — цена продажи.
Moneyness:
- In-the-Money (ITM): Call: Stock price > Strike price | Put: Stock price < Strike price
- At-the-Money (ATM): Stock price ≈ Strike price
- Out-of-the-Money (OTM): Call: Stock price < Strike price | Put: Stock price > Strike price
Время до expiration date, выраженное в годах. Калькулятор принимает годы/месяцы/дни и приводит к формату, который нужен формуле.
Impact: чем больше времени до экспирации, тем выше стоимость опциона — больше шансов, что цена “сходит” в нужную сторону. Это отражается в time value.
Теоретическая ставка доходности без риска, часто берут по краткосрочным гособлигациям (например, US Treasury bills). Это opportunity cost капитала.
Example: если 1-year T-bills дают 3%, используйте 3%.
Оценка того, насколько сильно цена акции может колебаться, обычно как годовое стандартное отклонение доходностей. Чем выше volatility, тем сильнее ожидаемые колебания и тем дороже опционы.
Types of Volatility:
- Historical Volatility: считается по прошлым движениям цены
- Implied Volatility: “выводится” из текущих рыночных цен опционов
Example: volatility 20% означает, что цена может отклоняться примерно на 20% в годовом выражении.
Ожидаемые годовые дивиденды как процент от текущей цены акции. Дивиденды обычно снижают цену call и повышают цену put, потому что это денежный отток из компании и снижение цены акции на дивидендную дату.
Example: если акция платит $4 в год и стоит $400, dividend yield = 1% ($4/$400).
Греки (Greeks)
“Греки” показывают, насколько чувствительна цена опциона к изменениям разных факторов. Калькулятор даёт пять основных Greeks:
| Greek | Что измеряет | Интерпретация |
|---|---|---|
| Delta (Δ) | Изменение цены опциона при изменении акции на $1 | Call: 0..1 | Put: -1..0. Delta 0.5 означает, что опцион меняется на $0.50 при движении акции на $1. |
| Gamma (Γ) | Скорость изменения delta | Чем выше gamma, тем быстрее меняется delta. У ATM опционов gamma обычно максимальна. |
| Vega (ν) | Изменение цены опциона при изменении volatility на 1% | Vega 0.10 означает изменение цены опциона на $0.10 при изменении volatility на 1%. |
| Theta (Θ) | Изменение цены в день (time decay) | Обычно отрицательна: показывает, сколько стоимости опцион теряет каждый день из‑за времени. |
| Rho (ρ) | Изменение цены опциона при изменении ставки на 1% | Чувствительность к ставкам. Для коротких опционов обычно менее важна. |
Пример
Scenario: оценка call на Tesla (TSLA)
Given Information:
- Current Stock Price: $400
- Strike Price: $350
- Time to Expiration: 1 year
- Risk-Free Rate: 3%
- Volatility: 20%
- Dividend Yield: 1%
Результат по Black‑Scholes:
- Call Option Price: $65.67 — цена права купить TSLA по $350 через 1 год
- Put Option Price: $9.30 — цена права продать TSLA по $350 через 1 год
Interpretation:
Call стоит дорого ($65.67), потому что он уже ITM: текущая цена ($400) заметно выше strike ($350). Значит, intrinsic value = $50, а ещё есть time value $15.67.
Put дешевле ($9.30), потому что он OTM: нет смысла продавать по $350, когда рынок даёт $400. Его стоимость — это вероятность, что цена упадёт ниже $350 до expiration.
Предпосылки и ограничения
Important: модель Black‑Scholes делает упрощающие предположения, которые в реальном рынке могут нарушаться:
- European Options Only: исполнение только в день expiration
- Efficient Markets: идеальная эффективность и случайность движений
- Constant Volatility: volatility постоянна, хотя в реальности меняется
- Constant Risk-Free Rate: ставка не меняется, что редко верно
- No Transaction Costs: игнорируются комиссии, налоги, bid-ask spread
- Lognormal Distribution: цены логнормальны, что не всегда описывает “чёрных лебедей”
- Continuous Trading: непрерывная торговля без гэпов
- No Dividends (Original): оригинальная модель не учитывала дивиденды (современные версии — учитывают)
Модификации
Из‑за ограничений появились вариации и улучшения:
- Black‑Scholes‑Merton: учитывает дивиденды (используется здесь)
- Binomial model: лучше для American options и дискретных дивидендов
- Monte Carlo: гибче для сложных опционов и сценариев
- Implied volatility models: выводят volatility из рыночных цен
Как пользоваться калькулятором
- Select Currency: выберите валюту (USD, EUR и т.д.)
- Enter Stock Price: текущая цена базовой акции
- Enter Strike Price: strike (exercise) из контракта
- Set Time to Expiration: укажите время и единицы (years/months/days)
- Input Risk-Free Rate: используйте актуальные T-bill rates (например, 3%)
- Enter Volatility: historical или implied volatility (например, 20%)
- Enter Dividend Yield: годовые дивиденды как % (0%, если дивидендов нет)
- Calculate: нажмите Calculate и получите цены call/put и Greeks
Частые вопросы
Модель даёт разумные приближения в “нормальных” условиях, но имеет известные ограничения. Часто она недооценивает deep OTM и переоценивает ATM. “Volatility smile” на рынке показывает, что предположение о постоянной volatility не выполняется. Используйте модель как ориентир, а не как абсолютную истину.
Black‑Scholes рассчитан на European options. Для American options (с возможностью досрочного исполнения) он часто даёт нижнюю границу цены. American calls на акциях без дивидендов редко исполняют досрочно, поэтому модель часто работает приемлемо. Для American puts или дивидендных акций лучше рассмотреть binomial model.
Можно использовать historical volatility (по прошлым данным) или implied volatility (из текущих цен опционов). Historical основана на фактах, но не гарантирует будущее. Implied отражает ожидания рынка, но может быть недоступна для некоторых бумаг. Для акций часто типично 15-30%, для tech — 30-60%.
Даже если у OTM опциона нет intrinsic value, у него есть time value: всегда остаётся шанс, что цена уйдёт в нужную сторону до expiration. Чем выше volatility и чем больше времени, тем выше time value — поэтому долгие сроки и высокая volatility повышают цены опционов.
Универсально “хорошей” delta нет — всё зависит от стратегии. ATM опционы часто имеют delta около 0.5 (calls) или -0.5 (puts): баланс цены и leverage. ITM опционы с delta близкой к 1/-1 двигаются почти как акция, но стоят дороже. OTM с маленькой delta дешевле, но требуют большего движения базового актива для прибыли.
Theta показывает ежедневную потерю стоимости из‑за времени при прочих равных. Time decay ускоряется ближе к expiration, особенно у ATM. Если вы покупаете опционы, отрицательная theta работает против вас. Если продаёте — положительная theta “на вашей стороне”, потому что опцион дешевеет.
Call покупают при bullish ожиданиях (рост). Put покупают при bearish ожиданиях (падение) или для защиты long позиции по акции. Опционы можно и продавать: sell calls — если вы neutral-to-bearish, sell puts — если neutral-to-bullish и готовы купить акцию по strike.
Если не исполнять до expiration, OTM опцион сгорит и станет worthless. Если он ITM, многие брокеры автоматически исполняют его в день expiration (возможны комиссии). Многие трейдеры закрывают позицию до экспирации, продавая опцион обратно рынку вместо исполнения.
Trading strategies
Понимание ценообразования полезно для популярных стратегий:
- Covered Call: акция + продажа call (генерация дохода)
- Protective Put: акция + покупка put (защита вниз)
- Bull Call Spread: buy call ниже strike + sell call выше strike (ограниченный риск и прибыль)
- Bear Put Spread: buy put выше strike + sell put ниже strike (прибыль на падении)
- Iron Condor: продажа OTM call/put + покупка более дальних OTM (ставка на низкую volatility)
- Straddle: buy call и put с одним strike (ставка на сильное движение в любую сторону)
Important Disclaimer
- Калькулятор даёт теоретические цены по модели Black‑Scholes‑Merton
- Рыночные цены могут отличаться из‑за спроса/предложения, неэффективностей и ограничений модели
- Торговля опционами несёт существенные риски и подходит не всем
- Инструмент создан для обучения и информации, это не финансовая рекомендация
- Проводите собственный анализ и при необходимости консультируйтесь со специалистом
- Прошлая доходность не гарантирует будущую