Что такое парадокс дней рождения?
Парадокс дней рождения (или задача о днях рождения) — это любопытная задача по теории вероятностей: какова вероятность того, что в группе случайно выбранных людей хотя бы у двоих совпадёт день рождения? Результат оказывается удивительно неинтуитивным.
Удивительный факт: в группе всего из 23 человек вероятность совпадения дня рождения у хотя бы двух людей — около 50%. А при 75 людях вероятность возрастает до 99.9%!
Математика задачи о днях рождения
Ключевая идея: проще посчитать вероятность того, что ни у кого дни рождения не совпадут, а затем вычесть её из 1. Вот как это делается:
Пошаговый расчёт
- У первого человека может быть любой день рождения: 365/365 = 1
- Второй должен “избежать” дня рождения первого: 364/365
- Третий должен “избежать” двух предыдущих: 363/365
- Продолжайте так для всех \(n\) человек
- Перемножьте все вероятности
- Вычтите результат из 1 — получите вероятность хотя бы одного совпадения
Общая формула
Для группы из \(n\) человек вероятность того, что совпадений нет, равна:
P(no match) = (365/365) × (364/365) × (363/365) × ... × ((365-n+1)/365)
Тогда вероятность того, что хотя бы у двоих дни рождения совпадут:
P(at least 2 match) = 1 - P(no match)
Пример: 23 человека
| Человек | Доступные дни | Вероятность |
|---|---|---|
| 1st | 365/365 | 1.0000 |
| 2nd | 364/365 | 0.9973 |
| 3rd | 363/365 | 0.9945 |
| ... | ... | ... |
| 23rd | 343/365 | ~0.4927 |
Результат: P(no match) ≈ 49.27%, значит P(at least 2 match) ≈ 50.73%
Почему это кажется странным?
- Мы думаем “линейно”: при 365 днях и всего 23 людях интуиция подсказывает маленькую вероятность (например, 23/365 ≈ 6%).
- Пар очень много: у 23 людей есть 23 × 22 / 2 = 253 возможные пары, у которых может совпасть день рождения.
- Рост нелинейный: с увеличением группы число пар растёт быстро (не по прямой).
- Подходит любая дата: мы не ищем конкретный день — засчитывается любое совпадение.
Вероятность в зависимости от размера группы
| Количество людей | Вероятность совпадения |
|---|---|
| 10 | 11.7% |
| 20 | 41.1% |
| 23 | 50.7% |
| 30 | 70.6% |
| 50 | 97.0% |
| 75 | 99.9% |
| 100 | 99.99997% |
Это действительно парадокс?
Строго говоря — нет. Настоящий парадокс противоречит сам себе при корректной логике. Задачу о днях рождения называют “veridical paradox”: результат выглядит абсурдным, но он верный. Математика здесь корректна — ошибается наша интуиция.
Практические применения
- Криптография: “атака дней рождения” использует принцип для поиска коллизий хэшей.
- Дедупликация данных: оценка вероятности коллизий в больших наборах.
- Генерация случайных чисел: проверка на неожиданные повторения.
- Социальные эксперименты: простой “трюк” для демонстрации вероятностей.
Частые вопросы (FAQ)
Почему это называют парадоксом, если противоречия нет?
Это “veridical paradox” — ситуация, которая кажется нелепой или противоречивой, но на самом деле верна. Название отражает не логическое противоречие, а то, насколько результат не совпадает с интуицией большинства людей.
Учитываются ли високосные годы?
Стандартный расчёт использует 365 дней. Однако наш калькулятор позволяет выбрать 365.25, чтобы приблизительно учесть високосные годы. Если их учитывать, то по принципу Дирихле совпадение гарантируется при 367 людях.
А если мне нужно, чтобы кто‑то совпал с моим конкретным днём рождения?
Это уже другая задача. Чтобы хотя бы один человек в группе из \(n\) совпал именно с вашей датой, людей нужно заметно больше — примерно 253 человека для вероятности около 50%. В калькуляторе это отображается как "Probability for specific date."
Сколько людей гарантируют совпадение дней рождения?
По принципу Дирихле при 366 людях (или 367, если учитывать “високосные” дни рождения) совпадение гарантировано. При этом до вероятности 99.9% вы доходите уже примерно при 70 людях.